No início do período védico (1500-1000BC), os Shulvasutras facilitou a construção de altares de sacrifício por seus princípios de geometria plana particularmente através das figuras do triângulo e do retângulo, o círculo e o losango. Os números negativos, o zero, lugar de valor notações e algoritmos simples já eram parte da matemática.
O grande matemático indiano Aryabhata (nascido em 476 dC) escreveu o Aryabhatiya - um volume de 121 versos. Além de debater a astronomia, ele estabeleceu procedimentos de aritmética, álgebra, geometria e trigonometria. Ele calculou o Pi em 3,1416 e abordou temas como quadrados numéricos e raízes de cubo. Aryabhata é creditado com o surgimento da trigonometria através de funções seno.
O século XI viu a resolução de equações diofantinas (segunda ordem), e pelo progresso tremendo século XIV tinha sido feito em trigonometria. Funções seno e co-seno, bem como de alto nível aproximações foram tabulados e a irracionalidade essencial da trigonometria reconhecido. Por volta do início do século XVI Madhava desenvolveu seu próprio sistema de cálculo com base em seu conhecimento de trigonometria. Ele foi um matemático ignorado de Kerala, e precedido Newton e Liebnitz por mais de um século.
O gênio do século XX Srinivas Ramanujan (1887-1920) desenvolveu uma fórmula para o particionamento qualquer número natural, expressando um número inteiro como a soma dos quadrados, cubos, ou maior poder de alguns inteiros.
Ganesh Daivajna, escrita no século XVI, a matemática definidos (Ganita) como: "Ganyate sankhya yate pouco ganitam Tatpratipadakatvena tatsamajnam sastram ucyate '. Traduzido, isso seria: 'Ganita é o processo de cálculo ou de numeração que a ciência que expõe esta também é caracterizada por este nome Ganita'. Além disso, ele elaborou sobre o efeito (prayojana) da matemática: "a aquisição de conhecimentos sobre as órbitas, levantando, a criação, as medidas de tamanho etc dos planetas, estrelas, etc e também o conhecimento de samhita (presságio), Jātaka ( horóscopos), que são os indicadores dos méritos e deméritos ganhou através dos atos de nascimentos anteriores.
Daivajna estava simplesmente expressando a verdade de todo esforço, para os antigos não acreditam no conhecimento para o bem do conhecimento. As maiores conquistas do pensamento indiano ter sido motivado por razões tanto sublimes e prática.
Teorema binomial, por exemplo, surgiu como resultado do aumento do número de metros musicais, bem como a necessidade de sistematizar eles. A matriz triangular descrito no Pingala 's Chandasutra (chanda metros =) em 200 aC resolveu esse problema. A pesquisa para o número de metros diferentes possíveis a partir de um metro de um determinado número de sílabas culminaram em sua resposta: adyantavupajatayah '. Esta foi traduzido por Halayudha como: 'adyantaviti anantaroktau indravajropendravajrayoh padavaha, tau jada vikalpena yathestam bhavatastadopajatayah prastravacanat'. Isto é, "o princípio e o fim devem ser misturadas (upajati metros) de indravajra e upendravajra e devem ser colocadas uma após a outra. Eles (indravajra e upendravajra) deve ser misturado em todos os sentidos. Estes medidores mistos devem ser produzidos a partir da combinação de (desejado) sílabas. A expansão piramidal (meruprastara), como recomendado pelo Pingala. 1.
____1________1____ (A + b) 1
___1_____2_____1____ (A + b) 2
__1____3_____3_____1____ (A + b) 3
__1____4____6____4_____1___ (A + b) 4
1 5 10 10 5 1 (a + b) 5
A segunda linha é a expansão de um metro de uma sílaba, a terceira linha é a expansão de um metro de duas sílabas, etc
Esta disposição triangular dos coeficientes binomiais antecede triângulo de Pascal, que foi publicado em 1665, no seu trabalho Traite du arithmétique triângulo.
Frações contínuas foram sistematicamente usados por Aryabhata o Primeiro (nascido AD 467) para a resolução de equações indeterminadas do tipo "por = ax + c '. A necessidade desta surgiu o problema de se chegar a uma raiz quadrada aproximada de números que não são quadrados perfeitos. Enquanto os primeiros passos já tinha sido tomada por Euclides no século III aC, foram os matemáticos indianos que promoveram o conhecimento Arybhata método Primeira -. Baseado em chegar ao máximo divisor comum dos números primos 'a' e 'b' .
Aryabhata Primeiro foi o responsável pelo desenho do círculo, triângulo e quadrilátero. Ele passou a formular tabelas para quocientes parciais e final.
Aryabhat 's 121-verso tratado Aryabhatiya é considerado como uma grande peça de literatura científica e formou a base para o avanço mais tarde muitos. Os procedimentos da aritmética, álgebra, geometria e trigonometria foram estabelecidas por ele, além do tremendo ímpeto fornecida por suas regras e cálculos para o campo da astronomia. Suas teorias sobre astronomia esférica levou ao desenvolvimento da trigonometria esférica. Sua regra para o seno R mesa (jya) formaram a base da tabela que continua a ser importante para os astrônomos.
Jya A = PM = R pecado A
Kojya A = R = OM cos A
Utkramojya A = MB = RR cos A,
Onde R = raio OP =
Aqui Jya é PM, kojya é OM, Utkramojya é MB. Foi calculado que haja 24 partes iguais da circunferência de cada quarto de círculo, e cada parte cobriria 225 liptas ou Kalas
(= 3 ° 45 ') da circunferência.
O método Pulverizer (Kuttakara) de Bhaskara o Primeiro (nascido AD 600) é um método de análise indeterminado em sobras. Os valores dos coeficientes (a, b) tornar-se cada vez menor. Ele classificou o pulverizador em pulverizer residual (Sagre kuttakara) e não-residual pulverizador (niragra kuttakara). Classificações semelhantes são encontrados nas obras dos outros matemáticos como Govinda, Paramesvara, Mahavira. Bhaskara a Primeira trabalha Mahabhaskariya direito e Laghubhaskariya são comentários sobre as regras de Aryabhata o primeiro e sistemas, e tem gerado uma série de comentários por matemáticos posteriores e astrônomos.
O zero era conhecido pelos antigos índios e muito provavelmente o conhecimento espalhou-se da Índia para outras culturas. Brahmagupta, um contemporâneo de Bhaskar O primeiro tem previsto regras para operações aritméticas com o zero. Varahamihira 's Panchasiddhantika refere-se a adição e subtração de zero. Vasubhandu expressou sua crença de que as estrelas eram representativos do zero e colocados lá pelo Criador para lembrar a humanidade da transitoriedade do mundo e todos os seres. Isso foi nos símbolos para nove numericals e um símbolo para zero eram bem conhecidas pelo século V dC.
O sistema decimal é acreditado para ter originado na Índia. Matemáticos árabes - Al Khawarizmi e Al-Nasavi em 825 AD. + AD 1025, respectivamente - se referem a ele como ta-rikh Hindi ai e Al-Amal al-Hindi.
Divisão mútua recebeu um avanço nas mãos de Aryabhata a Segunda (AD 950). Ele continuou até o processo de divisão do restante 1, e Bhaskara o segundo, também conhecido como Bhaskaracharya, (AD 1150), o método simplificado até o restante foi derivada da unidade. Assim, a equação de Aryabhata o Primeiro: x = por + C / a que foi adotada por Bhaskara o primeiro como: y = ax-c / b tornou bu = al + c onde u / l = cp n-1/cq n -1 com Bhaskaracharaya.
Aproximações de b: a (circunferência: diâmetro) são discutidos no século XVI texto Karanpaddhati, com aplicação de ambos para cima (abaixo-top) e para baixo (top-abaixo) técnicas. O versículo relevante para a aproximação das mahahara: mahaguna (b: a) é
anyonam vibhajenmahagunaharau yavadvibhakte'lpata / tavallabdhaphalani rupamapi ca nyasyedadho 'dhah kramat / raksipyantyamupantimena gunite svordhve tadantyam tyajed / bhuyo' pyesa vidhirbhaved gunaharau syatam tadordhvasthitau. Traduzido, isso seria:
'O mahaguna (a) e hara (b) deve ser dividida em simultâneo, até que seja negligenciável (por exemplo, zero). Os quocientes respectivos e um número um, são colocados um a seguir ao outro. Em seguida, multiplique o penúltimo (upanta) pelo número colocado acima dela (upanta urddha) e o último é adicionado a ele, e então este último número é esquerda. Este é o processo de obtenção do guna e hara colocados nas posições urddha. ' Esta é a técnica de cima (top-abaixo). O processo de cima para baixo é usado para calcular as aproximações sucessivas de circunferência: diâmetro. A regra para isso é - dho 'anyonyahrtabhajyhaarakaphalam sarvam tvadho' nyasedekatradyaphalena hinamaparatraikam dvayuascapari kurjad valyupasamhtim hyuparitah purvapranasam vina tyajyam tatprathamordhvagam haragunanassistasca va svecchaya 'A tradução -'. Ao Hara e o bhajya (guna) são simultaneamente divididos e os resultados são todos colocados sistematicamente um abaixo do outro em um lugar (primeiro lugar). Coloque os quocientes parciais sem o quociente primeiro em outro lugar (segundo lugar) e coloque uma sobre ambos os lugares. Realizar as tabelas (valli) operações a partir do topo, deixando o número do primeiro local, que não foi destruído na operação. O hara, guna e os resultados são obtidos restantes () conforme o desejado. " As aproximações sucessivas da circunferência de diâmetro são: -
p1 = a1, a2 P2 = a1 + 1, P3 = a3 (a1 a2 + 1) + a1 ...........
___________________________
q1 1 q2 q3 a2 a2 a3 + 1
Montagem por potências de 10 levou à descoberta de valores de lugar. Aryabhata o primeiro deu nomes para classes de números que ele montados assim, até o décimo lugar. No entanto, a sua notação alfabética para grandes números pode ser esticado para o décimo oitavo lugar, e muitos sentem que estes podem chegar indefinidamente. Bhaskara o primeiro chamado até 18 lugares, enquanto Mahavira chamado 24 lugares.
Cálculo recebeu uma nova locação de vida no início do século XVI, por meio de Madhava. Um matemático ignorado de Kerala, ele baseou seu próprio sistema em seu conhecimento de trigonometria, e precedido Newton e Liebnitz por mais de um século.
Upapatti (demonstração) era uma parte integrante de qualquer procedimento matemático e presentes no texto principal em si. Por meio deste processo detalhado do cálculo - seja no texto ou em comentários muitas vezes escritos pelos próprios autores - os matemáticos foram capazes de evitar a necessidade de um conjunto separado de prova de cálculo, e satisfazer a comunidade científica quanto à clareza e validade dos resultados obtidos por estes.
Esta clareza de propósito está refletido nas categorias claras de matemática O primeiro -. Vyaktaganita (também chamado de pati Ganita) - lida com claros procedimentos que são conhecidos por estudiosos e leigos. Isso inclui a aritmética, geometria e álgebra, mas menos qualquer indeterminadas. A segunda categoria - Avyaktaganita (também conhecido como bija Ganita) - é o de fazer com indeterminadas e outras quantidades desconhecidas como Yavat tavat (tanto as), Kalika (preto), nilaka (azul) denotada pelos símbolos ya, ka, e Ni, respectivamente. Isto é o equivalente ao x símbolos moderno algébrico, y, e z. A terceira categoria - Graha Ganita - é de astronomia matemática sobre cálculos de posições planetárias, enquanto o quarto - Gola Ganita - é astronomia esférica. No entanto, como já está implícito, a matemática era considerada uma parte da Joythisastra (astronomia e astrologia).
A aquisição do conhecimento matemático e competência abrange três aspectos que são, de facto, o esteio para dominar qualquer disciplina:
a) Pratyaksha percepção ie
b) anumana inferência ie
c) conhecimento Agama ou Sabda ou seja tradicional ou textual.
Estes três juntos são conhecidos como Pramanas.
Escritos
Arithmetics fez sua primeira aparição na seção Agnichayana do Brahmana Shatapatha. Este Brahmana foi compilada muito antes século VI aC, ea seção pertinente menciona a divisão de 720 por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20 e 24. A multiplicação também era conhecido. Os textos antigos, incluindo os Vedas e Upanishads menção shunya (zero) e alguns têm discutido isso em detalhe. Zero foi muitas vezes descrito como âmbar, kha, Akash (eles significam "céu"). Os números diferentes também tinham nomes e termos atribuídos a eles -
O número 1 era conhecido como Kshiti, Dhara, Prithvi, significado Indu horizonte, o fluxo de a Terra e a Lua, respectivamente.
O número 2 era conhecido como Yama, Ashvin, e os gêmeos significado Akshi e olhos respectivamente.
O número 3 foi conhecido como Yam, Guna, peças significado Agni de tempo, qualidades, e fogo, respectivamente.
O número 4 era conhecido como Veda, significado Samudra os Vedas (conhecimento) e oceano, respectivamente.
O número 5 era conhecido como Indriya, Mahabhuta, Bana ou seja, os sentidos, elementos e flechas, respectivamente.
O número 6 ficou conhecido como Rasa, respostas emocionais significado Ritu e estações, respectivamente.
Os Sulvasutras do século VIII aC definir o teorema de que o quadrado da hipotenusa é igual aos quadrados dos outros dois lados de um triângulo rectangular. Este desenvolveu-se o Teorema Pythagros 200 anos mais tarde. Os Sulvasutras eram textos religiosos preocupados com a construção correta de altares e lugares sagrados. Os números do triângulo, círculo retângulo e losango era uma parte de seu uso de geometria plana.
O Mahasiddhanta de Aryabhata o Segundo e o Lilavati capítulo de Siddhanta Bhaskaracharya de Siromani discutido o valor de pye como 22/7. O último trabalho foi de quatro capítulos - o primeiro: Lilavati (o belo) foi em aritmética. O segundo capítulo: Bijaganita (extração de raiz) discutiu álgebra. Os terceiro e quarto capítulos: Ganitadhyaya e Goladhyaya tratado de astronomia. O texto incluía uma técnica de cálculo muito rápido e não ao contrário do cálculo moderno.
O Aryabhatiya escrito em 499 dC por Aryabhata O primeiro consistiu de quatro capítulos. A primeira: em constantes astronômicas e a tabela de seno. A segunda: na matemática necessários para cálculos. O terceiro: a divisão do tempo, e as regras para calcular as longitudes de planetas usando excêntricos e epiciclos. O quarto:. Na esfera armilar, regras relativas a trigonometria e o cálculo de eclipses Aryabhatasiddhanta Aryabhata está perdido, mas encontra menção em outros trabalhos.
Brahmasphutasiddhanta Brahmagupta escrito em 628 dC, Ganitasarasamgraha Mahavira escrito em AD 850 e Ganitasara Sridhara escrito em 1020 AD outras obras que contêm dados importantes matemáticos.
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